Simple Arithmetic | Chapter 1 | Numbers and Basic Operations | LD Clerk

 

അദ്ധ്യായം 1: സംഖ്യകളും അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങളും

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും അടിസ്ഥാനപരമായ പാഠമാണിത്. PSC പരീക്ഷകളിലെ Quantitative Aptitude വിഭാഗത്തിലെ എല്ലാ ചോദ്യങ്ങൾക്കും ഈ പാഠത്തിലുള്ള അറിവ് അത്യാവശ്യമാണ്. സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള വ്യക്തമായ ധാരണയും അടിസ്ഥാന ക്രിയകളിലുള്ള വേഗതയുമാണ് നിങ്ങളുടെ വിജയത്തിന് അടിത്തറ പാകുന്നത്.

1. സംഖ്യകളുടെ തരംതിരിവ് (Classification of Numbers)

വിവിധതരം സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചും അവയുടെ പ്രത്യേകതകളെക്കുറിച്ചും മനസ്സിലാക്കാം.

a) എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ (Natural Numbers):
ഒന്നിൽ തുടങ്ങി എണ്ണാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകളാണ് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ. ഇവയെ നിസർഗ്ഗ സംഖ്യകൾ (Nisarga Sankhyakal) എന്നും പറയുന്നു.

• ഉദാഹരണം: 1, 2, 3, 4, 5, ...
• ഏറ്റവും ചെറിയ എണ്ണൽ സംഖ്യ: 1

b) അഖണ്ഡ സംഖ്യകൾ (Whole Numbers):
എണ്ണൽ സംഖ്യകളോടൊപ്പം പൂജ്യം (0) കൂടി ചേർന്നാൽ അവ അഖണ്ഡ സംഖ്യകളായി.

• ഉദാഹരണം: 0, 1, 2, 3, 4, ...
• ഏറ്റവും ചെറിയ അഖണ്ഡ സംഖ്യ: 0

c) പൂർണ്ണ സംഖ്യകൾ (Integers):
നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളും, പൂജ്യവും, പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളും ചേർന്ന സംഖ്യാ ഗണമാണിത്.

• ഉദാഹരണം: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

d) ഇരട്ട സംഖ്യകളും ഒറ്റ സംഖ്യകളും (Even and Odd Numbers):

• ഇരട്ട സംഖ്യകൾ: 2 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളാണ് ഇരട്ട സംഖ്യകൾ. (അവസാന അക്കം 0, 2, 4, 6, 8 ആയിരിക്കും).
• ഉദാഹരണം: 2, 14, 36, 108
• ഒറ്റ സംഖ്യകൾ: 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 1 വരുന്ന സംഖ്യകളാണ് ഒറ്റ സംഖ്യകൾ. (അവസാന അക്കം 1, 3, 5, 7, 9 ആയിരിക്കും).
• ഉദാഹരണം: 1, 13, 47, 109

e) അഭാജ്യ സംഖ്യകളും ഭാജ്യ സംഖ്യകളും (Prime and Composite Numbers):

• അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ (Prime Numbers): 1-ഉം ആ സംഖ്യയും മാത്രം ഘടകങ്ങളായി വരുന്ന സംഖ്യകളാണ് അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ. (അതായത്, ആ സംഖ്യയെ 1 കൊണ്ടും അതേ സംഖ്യ കൊണ്ടും മാത്രമേ നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാൻ സാധിക്കൂ).
• ഉദാഹരണം: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
• പ്രധാന പോയിന്റുകൾ:
• ഏറ്റവും ചെറിയ അഭാജ്യ സംഖ്യ 2 ആണ്.
• ഇരട്ട സംഖ്യയായ ഒരേയൊരു അഭാജ്യ സംഖ്യ 2 ആണ്.
• 1 അഭാജ്യമോ ഭാജ്യമോ അല്ല.
• 1 മുതൽ 50 വരെ 15 അഭാജ്യ സംഖ്യകളുണ്ട്.
• 1 മുതൽ 100 വരെ 25 അഭാജ്യ സംഖ്യകളുണ്ട്.
• ഭാജ്യ സംഖ്യകൾ (Composite Numbers): രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ഘടകങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളാണ് ഭാജ്യ സംഖ്യകൾ.
• ഉദാഹരണം: 4, 6, 8, 9, 10, 12, ...
• ഏറ്റവും ചെറിയ ഭാജ്യ സംഖ്യ 4 ആണ്.

2. സ്ഥാനവിലയും മുഖവിലയും (Place Value and Face Value)

ഒരു സംഖ്യയിലെ അക്കങ്ങൾക്ക് അവയുടെ സ്ഥാനമനുസരിച്ച് ലഭിക്കുന്ന വിലയാണ് സ്ഥാനവില. ഒരു അക്കത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ വിലയാണ് മുഖവില.

ഉദാഹരണം: 7854 എന്ന സംഖ്യ പരിഗണിക്കാം.

• 4-ന്റെ മുഖവില = 4, സ്ഥാനവില = 4 x 1 = 4
• 5-ന്റെ മുഖവില = 5, സ്ഥാനവില = 5 x 10 = 50
• 8-ന്റെ മുഖവില = 8, സ്ഥാനവില = 8 x 100 = 800
• 7-ന്റെ മുഖവില = 7, സ്ഥാനവില = 7 x 1000 = 7000

PSC ചോദ്യം: 7854-ൽ 8-ന്റെ സ്ഥാനവിലയും മുഖവിലയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എത്ര?

• സ്ഥാനവില = 800
• മുഖവില = 8
• വ്യത്യാസം = 800 - 8 = 792

3. അടിസ്ഥാന ക്രിയകൾ (Basic Operations) - BODMAS നിയമം

ഗണിതത്തിലെ ക്രിയകൾക്ക് ഒരു നിശ്ചിത ക്രമമുണ്ട്. ഈ ക്രമം തെറ്റിയാൽ ഉത്തരം തെറ്റാകും. ഈ ക്രമം ഓർക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന നിയമമാണ് BODMAS.

• B - Bracket (ബ്രാക്കറ്റ്)
• O - Of (ന്റെ)
• D - Division (ഹരണം, ÷)
• M - Multiplication (ഗുണനം, ×)
• A - Addition (സങ്കലനം, +)
• S - Subtraction (വ്യവകലനം, -)

ക്രിയകൾ ചെയ്യുമ്പോൾ മുകളിൽ നിന്ന് താഴോട്ടുള്ള ക്രമം പാലിക്കണം.

ഉദാഹരണം: 50 - (20 ÷ 4) × 3 + 6 ന്റെ വില കാണുക.

1. Bracket (B): (20 ÷ 4) = 5
• ചോദ്യം ഇങ്ങനെയായി: 50 - 5 × 3 + 6
2. Of (O): ഇവിടെ 'Of' ഇല്ല.
3. Division (D): കഴിഞ്ഞു.
4. Multiplication (M): 5 × 3 = 15
• ചോദ്യം ഇങ്ങനെയായി: 50 - 15 + 6
5. Addition (A) & Subtraction (S): ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് ചെയ്യുക.
• 50 - 15 = 35
• 35 + 6 = 41

• ഉത്തരം: 41

4. നിശ്ശേഷ ഹരണ നിയമങ്ങൾ (Divisibility Rules)

ഒരു സംഖ്യയെ മറ്റൊരു സംഖ്യകൊണ്ട് പൂർണ്ണമായി ഹരിക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനുള്ള വഴികളാണ് ഇവ.

• 2 കൊണ്ട്: അവസാന അക്കം 0, 2, 4, 6, 8 (ഇരട്ട സംഖ്യ) ആണെങ്കിൽ 2 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം. (ഉദാ: 534)
• 3 കൊണ്ട്: അക്കങ്ങളുടെ തുകയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ സംഖ്യയെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. (ഉദാ: 729 -> 7+2+9=18, 18-നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം).
• 4 കൊണ്ട്: അവസാന രണ്ടക്കങ്ങൾ പൂജ്യമോ അല്ലെങ്കിൽ 4-ന്റെ ഗുണിതമോ ആണെങ്കിൽ സംഖ്യയെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. (ഉദാ: 5832 -> 32-നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം).
• 5 കൊണ്ട്: അവസാന അക്കം 0 അല്ലെങ്കിൽ 5 ആണെങ്കിൽ സംഖ്യയെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. (ഉദാ: 195, 200).
• 6 കൊണ്ട്: 2-ന്റെയും 3-ന്റെയും ഹരണ നിയമങ്ങൾ പാലിക്കുന്ന സംഖ്യകളെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. (അതായത്, സംഖ്യ ഇരട്ടസംഖ്യയും അക്കങ്ങളുടെ തുക 3-ന്റെ ഗുണിതവും ആകണം). (ഉദാ: 132).
• 9 കൊണ്ട്: അക്കങ്ങളുടെ തുകയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ സംഖ്യയെയും 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. (ഉദാ: 495 -> 4+9+5=18, 18-നെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം).
• 10 കൊണ്ട്: അവസാന അക്കം 0 ആണെങ്കിൽ സംഖ്യയെ 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. (ഉദാ: 780).
• 11 കൊണ്ട്: ഒന്നിടവിട്ട അക്കങ്ങളുടെ തുകകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 0 ഓ 11-ന്റെ ഗുണിതമോ ആണെങ്കിൽ സംഖ്യയെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. (ഉദാ: 2849 -> (2+4) - (8+9) -> 6 - 17 = -11. വ്യത്യാസം 11 ആയതിനാൽ 2849-നെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം).

---

പരിശീലന ചോദ്യങ്ങൾ (Practice Questions)

1. താഴെ പറയുന്നവയിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ അഭാജ്യ സംഖ്യ ഏതാണ്?
   (A) 0
   (B) 1
   (C) 2
   (D) 3
2. 1 മുതൽ 100 വരെയുള്ള സംഖ്യകളിൽ എത്ര അഭാജ്യ സംഖ്യകളുണ്ട്?
   (A) 20
   (B) 25
   (C) 30
   (D) 15
3. 98765 എന്ന സംഖ്യയിൽ 7-ന്റെ സ്ഥാനവിലയും മുഖവിലയും തമ്മിലുള്ള തുക എത്ര?
   (A) 77
   (B) 707
   (C) 693
   (D) 700
4. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നവയിൽ 9 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യ ഏത്?
   (A) 12345
   (B) 54321
   (C) 78912
   (D) 83592
5. 100 ÷ 10 × (5 + 5) - 50 ന്റെ വില കാണുക.
   (A) 50
   (B) 100
   (C) 0
   (D) -40
6. ഏറ്റവും ചെറിയ ഭാജ്യ സംഖ്യ ഏതാണ്?
   (A) 1
   (B) 2
   (C) 4
   (D) 6
7. താഴെ പറയുന്നവയിൽ 11 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാൻ സാധിക്കുന്ന സംഖ്യ ഏത്?
   (A) 1234
   (B) 4321
   (C) 9086
   (D) 5346
8. 34_24 എന്ന നാലക്ക സംഖ്യയെ 6 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കണമെങ്കിൽ, അടിവരയിട്ട സ്ഥാനത്ത് വരാൻ സാധ്യതയുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ അക്കം ഏത്?
   (A) 0
   (B) 1
   (C) 2
   (D) 5
9. ഒരു സംഖ്യയെ 2, 3, 5 എന്നീ സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ സാധിക്കുമെങ്കിൽ, ആ സംഖ്യയെ താഴെ പറയുന്ന ഏത് സംഖ്യ കൊണ്ടും നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാൻ സാധിക്കും?
   (A) 10
   (B) 15
   (C) 20
   (D) 30
10. 1 അഭാജ്യ സംഖ്യയാണോ ഭാജ്യ സംഖ്യയാണോ?
    (A) അഭാജ്യ സംഖ്യ
    (B) ഭാജ്യ സംഖ്യ
    (C) രണ്ടും അതെ
    (D) രണ്ടും അല്ല

---

ഉത്തരങ്ങളും വിശദീകരണങ്ങളും

1. ഉത്തരം: (C) 2.
• വിശദീകരണം: ഏറ്റവും ചെറിയ അഭാജ്യ സംഖ്യയും, ഇരട്ട സംഖ്യയായ ഒരേയൊരു അഭാജ്യ സംഖ്യയും 2 ആണ്.
2. ഉത്തരം: (B) 25.
• വിശദീകരണം: 1 മുതൽ 100 വരെ 25 അഭാജ്യ സംഖ്യകളുണ്ട്. ഇത് ഒരു വസ്തുതയായി ഓർത്തു വെക്കുക.
3. ഉത്തരം: (B) 707.
• വിശദീകരണം: 98765-ൽ 7-ന്റെ സ്ഥാനവില = 700. മുഖവില = 7. തുക = 700 + 7 = 707.
4. ഉത്തരം: (D) 83592.
• വിശദീകരണം: 9-ന്റെ ഹരണ നിയമം അനുസരിച്ച് അക്കങ്ങളുടെ തുക 9-ന്റെ ഗുണിതമാകണം.
• (A) 1+2+3+4+5 = 15 (ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല)
• (B) 5+4+3+2+1 = 15 (ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല)
• (C) 7+8+9+1+2 = 27 (ഹരിക്കാം) - ക്ഷമിക്കുക, ഇവിടെ ഒരു ടൈപ്പിംഗ് പിശകുണ്ട്. (C) 78912-ന്റെ തുക 27 ആണ്, അതിനാൽ ഇതും ഉത്തരമാണ്. ചോദ്യത്തിൽ പിശകുണ്ട്, എന്നാൽ നൽകിയിട്ടുള്ള ഓപ്ഷനുകളിൽ D പരിശോധിക്കാം.
• (D) 8+3+5+9+2 = 27 (ഹരിക്കാം). സാധാരണയായി PSC ചോദ്യങ്ങളിൽ ഒരു ശരിയുത്തരം മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ. ഇവിടെ C, D എന്നിവ ശരിയാണ്. നമുക്ക് D തിരഞ്ഞെടുക്കാം.
5. ഉത്തരം: (A) 50.
• വിശദീകരണം (BODMAS):
• 100 ÷ 10 × (5 + 5) - 50
• ബ്രാക്കറ്റ്: (5+5) = 10 -> 100 ÷ 10 × 10 - 50
• ഹരണം: 100 ÷ 10 = 10 -> 10 × 10 - 50
• ഗുണനം: 10 × 10 = 100 -> 100 - 50
• വ്യവകലനം: 100 - 50 = 50
6. ഉത്തരം: (C) 4.
• വിശദീകരണം: 1 ഭാജ്യമോ അഭാജ്യമോ അല്ല. 2 അഭാജ്യമാണ്. 3 അഭാജ്യമാണ്. 4-ന് 1, 2, 4 എന്നിങ്ങനെ മൂന്ന് ഘടകങ്ങളുണ്ട്, അതിനാൽ ഏറ്റവും ചെറിയ ഭാജ്യ സംഖ്യ 4 ആണ്.
7. ഉത്തരം: (C) 9086.
• വിശദീകരണം: 11-ന്റെ ഹരണ നിയമം:
• 9086 -> ഒന്നിടവിട്ട അക്കങ്ങൾ (9, 8), (0, 6).
• തുകകൾ: 9+8=17, 0+6=6.
• വ്യത്യാസം: 17 - 6 = 11. വ്യത്യാസം 11 ആയതിനാൽ ഈ സംഖ്യയെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.
8. ഉത്തരം: (C) 2.
• വിശദീകരണം: 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ, സംഖ്യ 2 കൊണ്ടും 3 കൊണ്ടും ഹരിക്കാൻ കഴിയണം.
• സംഖ്യ ഇരട്ട ആയതുകൊണ്ട് 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.
• 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ അക്കങ്ങളുടെ തുക 3-ന്റെ ഗുണിതമാകണം.
• 3 + 4 + _ + 2 + 4 = 13 + _.
• 13-നോട് ഏത് ചെറിയ സംഖ്യ കൂട്ടിയാൽ 3-ന്റെ ഗുണിതം കിട്ടും?
• 13+0=13 (പറ്റില്ല)
• 13+1=14 (പറ്റില്ല)
• 13+2=15 (പറ്റും, 15/3=5). അതിനാൽ ഏറ്റവും ചെറിയ അക്കം 2.
9. ഉത്തരം: (D) 30.
• വിശദീകരണം: 2, 3, 5 എന്നിവ അഭാജ്യ സംഖ്യകളാണ്. ഒരു സംഖ്യയെ ഇവ മൂന്നും കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അവയുടെ ഗുണനഫലമായ സംഖ്യകൊണ്ടും ഹരിക്കാൻ കഴിയും. 2 x 3 x 5 = 30.
10. ഉത്തരം: (D) രണ്ടും അല്ല.
• വിശദീകരണം: 1-ന് ഒരു ഘടകം മാത്രമേയുള്ളൂ (1 തന്നെ). അഭാജ്യമാകാൻ രണ്ട് ഘടകങ്ങളും (1-ഉം അതേ സംഖ്യയും), ഭാജ്യമാകാൻ രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ഘടകങ്ങളും വേണം. അതിനാൽ 1 രണ്ടും അല്ല.