Simple Arithmetic | Chapter 6 | Ratio and Proportion | LD Clerk

 

അദ്ധ്യായം 6: അനുപാതവും ആനുപാതികതയും (Ratio and Proportion)

രണ്ടോ അതിലധികമോ അളവുകളെ തമ്മിൽ താരതമ്യം ചെയ്യാനും അവയുടെ ബന്ധം മനസ്സിലാക്കാനും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രശാഖയാണിത്. മിശ്രിതം, പ്രായം, പങ്കാളിത്തം, ജ്യാമിതി തുടങ്ങിയ മേഖലകളിലെ ചോദ്യങ്ങൾ ചെയ്യാൻ ഈ പാഠത്തിലെ അറിവ് അത്യാവശ്യമാണ്.

ഭാഗം 1: അനുപാതം (Ratio)

ഒരേ യൂണിറ്റിലുള്ള രണ്ട് അളവുകളെ അവയുടെ ലഘുരൂപത്തിൽ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിനെയാണ് അനുപാതം എന്ന് പറയുന്നത്. a : b (a is to b) എന്ന് ഇതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

• പൂർവ്വപദം (Antecedent): അനുപാതത്തിലെ ആദ്യ പദം (a).
• ഉത്തരപദം (Consequent): അനുപാതത്തിലെ രണ്ടാം പദം (b).

ഉദാഹരണം: ഒരു ക്ലാസ്സിൽ 20 ആൺകുട്ടികളും 30 പെൺകുട്ടികളും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവർ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം 20 : 30 ആണ്. ഇതിനെ ലഘൂകരിച്ച് (രണ്ട് സംഖ്യകളെയും 10 കൊണ്ട് ഹരിച്ച്) 2 : 3 എന്ന് എഴുതാം.

6.1 അനുപാതങ്ങളെ യോജിപ്പിക്കൽ (Combining Ratios)

ഇത് PSC പരീക്ഷകളിലെ ഒരു പ്രധാന ചോദ്യമേഖലയാണ്.

മോഡൽ 1: A:B, B:C തന്നാൽ A:B:C കാണാൻ

• ചോദ്യം: A:B = 4:5, B:C = 6:7 ആണെങ്കിൽ A:B:C എത്ര?
• രീതി: B-യുടെ വില രണ്ട് അനുപാതങ്ങളിലും തുല്യമാക്കുക എന്നതാണ് ലക്ഷ്യം. ഇവിടെ A:B-യിൽ B=5, B:C-യിൽ B=6. ഇവ തുല്യമാക്കാൻ ആദ്യ അനുപാതത്തെ 6 കൊണ്ടും രണ്ടാം അനുപാതത്തെ 5 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.
• A:B = (4×6) : (5×6) = 24:30
• B:C = (6×5) : (7×5) = 30:35
• ഇപ്പോൾ B-യുടെ വില 30 ആയി. അതിനാൽ, A:B:C = 24:30:35
• എളുപ്പവഴി (Shortcut):

A : B : C

  4 : 5

      6 : 7

  -----------

(4×6):(5×6):(5×7)

  24 : 30 : 35

(N എന്ന അക്ഷരം തലതിരിച്ചിട്ടതുപോലെ ഗുണിക്കുക).

6.2 ഒരു അളവിനെ നിശ്ചിത അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കൽ

• ചോദ്യം: 720 രൂപയെ A, B എന്നിവർക്ക് 4:5 എന്ന അനുപാതത്തിൽ വീതിച്ചാൽ ഓരോരുത്തർക്കും എത്ര രൂപ വീതം കിട്ടും?
• രീതി:
1. അനുപാതങ്ങളുടെ തുക കാണുക: 4 + 5 = 9.
2. A-യുടെ വിഹിതം = (A-യുടെ അനുപാതം / ആകെ അനുപാതം) × ആകെ തുക
• = (4/9) × 720 = 4 × 80 = 320 രൂപ
3. B-യുടെ വിഹിതം = (B-യുടെ അനുപാതം / ആകെ അനുപാതം) × ആകെ തുക
• = (5/9) × 720 = 5 × 80 = 400 രൂപ

ഭാഗം 2: ആനുപാതികത (Proportion)

രണ്ട് അനുപാതങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ അവ ആനുപാതികതയിൽ (In proportion) ആണെന്ന് പറയാം.
a : b = c : d എന്നതിനെ a : b :: c : d എന്ന് എഴുതാം.

• അറ്റപദങ്ങൾ (Extremes): a, d
• മദ്ധ്യപദങ്ങൾ (Means): b, c

അടിസ്ഥാന നിയമം: ഒരു ആനുപാതികതയിൽ, അറ്റപദങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം മദ്ധ്യപദങ്ങളുടെ ഗുണനഫലത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.
a × d = b × c

6.3 വിവിധ തരം ആനുപാതികങ്ങൾ

a) നാലാം ആനുപാതികം (Fourth Proportional)
a, b, c എന്നിവയുടെ നാലാം ആനുപാതികം x ആണെങ്കിൽ, a : b :: c : x.
x = (b × c) / a

• ചോദ്യം: 6, 8, 9 എന്നിവയുടെ നാലാം ആനുപാതികം എന്ത്?
• ഉത്തരം: x = (8 × 9) / 6 = 72 / 6 = 12.

b) മൂന്നാം ആനുപാതികം (Third Proportional)
a, b എന്നിവയുടെ മൂന്നാം ആനുപാതികം x ആണെങ്കിൽ, a : b :: b : x.
x = b² / a

• ചോദ്യം: 4, 12 എന്നിവയുടെ മൂന്നാം ആനുപാതികം എന്ത്?
• ഉത്തരം: x = 12² / 4 = 144 / 4 = 36.

c) മധ്യാർത്ഥം (Mean Proportional)
a, c എന്നിവയുടെ മധ്യാർത്ഥം b ആണെങ്കിൽ, a : b :: b : c.
b² = a × c അഥവാ b = √(a × c)

• ചോദ്യം: 9-ന്റെയും 16-ന്റെയും മധ്യാർത്ഥം എന്ത്?
• ഉത്തരം: b = √(9 × 16) = √144 = 12.

---

പരിശീലന ചോദ്യങ്ങൾ (Practice Questions)

1. 45 : 75 എന്ന അനുപാതത്തിന്റെ ലഘുരൂപം എന്ത്?
   (A) 9:15
   (B) 3:5
   (C) 5:3
   (D) 15:25
2. A:B = 5:6, B:C = 4:7 ആണെങ്കിൽ A:C എത്ര?
   (A) 5:7
   (B) 10:21
   (C) 20:42
   (D) 6:4
3. 3600 രൂപയെ P, Q എന്നിവർക്ക് 4:5 എന്ന അനുപാതത്തിൽ വീതിച്ചാൽ Q-വിന് ലഭിക്കുന്ന വിഹിതം എത്ര?
   (A) 1600
   (B) 2000
   (C) 1800
   (D) 400
4. 5, 8, 15 എന്നിവയുടെ നാലാം ആനുപാതികം കാണുക.
   (A) 20
   (B) 22
   (C) 24
   (D) 30
5. 8, 12 എന്നിവയുടെ മൂന്നാം ആനുപാതികം എത്ര?
   (A) 16
   (B) 18
   (C) 20
   (D) 24
6. 4-ന്റെയും 25-ന്റെയും മധ്യാർത്ഥം (Mean Proportional) എത്രയാണ്?
   (A) 10
   (B) 100
   (C) 12.5
   (D) 15
7. ഒരു മിശ്രിതത്തിൽ പാലും വെള്ളവും 7:3 എന്ന അനുപാതത്തിലാണ്. ആകെ 40 ലിറ്റർ മിശ്രിതത്തിൽ എത്ര ലിറ്റർ പാലുണ്ട്?
   (A) 28 ലിറ്റർ
   (B) 12 ലിറ്റർ
   (C) 30 ലിറ്റർ
   (D) 7 ലിറ്റർ
8. രണ്ട് സംഖ്യകൾ 3:5 എന്ന അനുപാതത്തിലാണ്. അവയുടെ തുക 96 ആയാൽ വലിയ സംഖ്യ ഏത്?
   (A) 36
   (B) 60
   (C) 48
   (D) 50
9. A:B = 2:3, B:C = 4:5, C:D = 6:7 ആണെങ്കിൽ A:D എത്ര?
   (A) 16:35
   (B) 2:7
   (C) 1:2
   (D) 8:15
10. ഒരു ബാഗിൽ 1 രൂപ, 50 പൈസ, 25 പൈസ നാണയങ്ങൾ 5:6:8 എന്ന അനുപാതത്തിലുണ്ട്. ബാഗിൽ ആകെ 210 രൂപയുണ്ടെങ്കിൽ 50 പൈസ നാണയങ്ങളുടെ എണ്ണം എത്ര?
    (A) 105
    (B) 120
    (C) 126
    (D) 140

---

ഉത്തരങ്ങളും വിശദീകരണങ്ങളും

1. ഉത്തരം: (B) 3:5.
• വിശദീകരണം: 45, 75 എന്നിവയുടെ ഉ.സാ.ഘ (HCF) 15 ആണ്. 45/15 = 3, 75/15 = 5. അനുപാതം 3:5.
2. ഉത്തരം: (B) 10:21.
• വിശദീകരണം: A/C = (A/B) × (B/C) = (5/6) × (4/7) = 20/42. ലഘൂകരിക്കുമ്പോൾ 10/21. അതായത് A:C = 10:21.
3. ഉത്തരം: (B) 2000.
• വിശദീകരണം: ആകെ അനുപാതം = 4 + 5 = 9. Q-വിന്റെ വിഹിതം = (5/9) × 3600 = 5 × 400 = 2000 രൂപ.
4. ഉത്തരം: (C) 24.
• വിശദീകരണം: നാലാം ആനുപാതികം x = (b×c)/a = (8×15)/5 = 120/5 = 24.
5. ഉത്തരം: (B) 18.
• വിശദീകരണം: മൂന്നാം ആനുപാതികം x = b²/a = 12²/8 = 144/8 = 18.
6. ഉത്തരം: (A) 10.
• വിശദീകരണം: മധ്യാർത്ഥം b = √(a×c) = √(4×25) = √100 = 10.
7. ഉത്തരം: (A) 28 ലിറ്റർ.
• വിശദീകരണം: ആകെ അനുപാതം = 7+3=10. പാലിന്റെ അളവ് = (7/10) × 40 = 7 × 4 = 28 ലിറ്റർ.
8. ഉത്തരം: (B) 60.
• വിശദീകരണം: സംഖ്യകളെ 3x, 5x എന്ന് എടുക്കാം. 3x + 5x = 96 -> 8x = 96 -> x = 12. വലിയ സംഖ്യ 5x = 5 × 12 = 60.
9. ഉത്തരം: (A) 16:35.
• വിശദീകരണം: A/D = (A/B) × (B/C) × (C/D) = (2/3) × (4/5) × (6/7) = 48/105. 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 16/35. അതായത് A:D = 16:35.
10. ഉത്തരം: (C) 126.
• വിശദീകരണം: നാണയങ്ങളുടെ എണ്ണം 5x, 6x, 8x എന്ന് കരുതുക. അവയുടെ വിലകളുടെ അനുപാതം കാണുക.
• വില = (5x × 1) + (6x × 0.50) + (8x × 0.25) = 5x + 3x + 2x = 10x.
• ആകെ വില 10x = 210 രൂപ. x = 21.
• 50 പൈസ നാണയങ്ങളുടെ എണ്ണം = 6x = 6 × 21 = 126.