Simple Arithmetic | Chapter 2 | Fractions and Decimal Numbers | LD Clerk - Kerala PSC | LDC | LGS | VEO | VFA | Model Questions | Question Papers

അദ്ധ്യായം 2: ഭിന്നസംഖ്യകളും ദശാംശ സംഖ്യകളും (Fractions and Decimal Numbers)

സംഖ്യകളെ പൂർണ്ണമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയാത്ത സന്ദർഭങ്ങളിലാണ് നാം ഭിന്നസംഖ്യകളും ദശാംശ സംഖ്യകളും ഉപയോഗിക്കുന്നത്. PSC പരീക്ഷകളിൽ ഈ ഭാഗത്തുനിന്നും നേരിട്ടുള്ളതും അല്ലാത്തതുമായ ധാരാളം ചോദ്യങ്ങൾ വരാറുണ്ട്.

ഭാഗം 1: ഭിന്നസംഖ്യകൾ (Fractions)

ഒരു പൂർണ്ണ വസ്തുവിന്റെ ഭാഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യാരൂപമാണ് ഭിന്നസംഖ്യ. ഇതിന് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളുണ്ട്:

അംശം (Numerator): മുകളിലുള്ള സംഖ്യ. (എത്ര ഭാഗം എടുത്തു എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു).
ഛേദം (Denominator): താഴെയുള്ള സംഖ്യ. (മൊത്തം എത്ര ഭാഗങ്ങളുണ്ട് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു).

ഉദാഹരണം: 3/4 (നാലിൽ മൂന്ന് ഭാഗം). ഇവിടെ 3 അംശവും 4 ഛേദവുമാണ്.

2.1 ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ തരംതിരിവ്

a) സാധാരണ ഭിന്നം (Proper Fraction):
അംശം ഛേദത്തേക്കാൾ ചെറുതാണെങ്കിൽ അത് സാധാരണ ഭിന്നമാണ്. ഇതിന്റെ വില എപ്പോഴും 1-ൽ കുറവായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം: 1/2, 3/5, 7/10

b) വിഷമ ഭിന്നം (Improper Fraction):
അംശം ഛേദത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണെങ്കിൽ അത് വിഷമ ഭിന്നമാണ്. ഇതിന്റെ വില 1-നോ അതിൽ കൂടുതലോ ആയിരിക്കും.

ഉദാഹരണം: 5/3, 8/8, 12/7

c) മിശ്ര ഭിന്നം (Mixed Fraction):
ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഒരു സാധാരണ ഭിന്നവും ചേർന്ന രൂപമാണിത്.

ഉദാഹരണം: 2 ½ (രണ്ടര), 4 ¾ (നാലേമുക്കാൽ)

2.2 രൂപമാറ്റം (Conversions)

മിശ്ര ഭിന്നത്തെ വിഷമ ഭിന്നമാക്കാൻ:
(പൂർണ്ണസംഖ്യ × ഛേദം) + അംശം എന്നതിനെ പുതിയ അംശമായി എടുക്കുക. ഛേദം മാറുന്നില്ല.

ഉദാഹരണം: 3 ½ = (3 × 2 + 1) / 2 = (6 + 1) / 2 = 7/2

വിഷമ ഭിന്നത്തെ മിശ്ര ഭിന്നമാക്കാൻ:
അംശത്തെ ഛേദം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ഹരണഫലം (Quotient) പൂർണ്ണസംഖ്യയായും, ശിഷ്ടം (Remainder) പുതിയ അംശമായും എഴുതുക.

ഉദാഹരണം: 11/4 -> 11-നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, ഹരണഫലം 2, ശിഷ്ടം 3.
അതുകൊണ്ട്, 11/4 = 2 ¾

2.3 ഭിന്നസംഖ്യകളിലെ ക്രിയകൾ

a) സങ്കലനവും വ്യവകലനവും (Addition & Subtraction):

ഛേദം തുല്യമാകുമ്പോൾ: അംശങ്ങൾ തമ്മിൽ കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുക. ഛേദം അതുപോലെ നിലനിർത്തുക.

ഉദാഹരണം: 3/7 + 2/7 = (3+2)/7 = 5/7

ഛേദം വ്യത്യസ്തമാകുമ്പോൾ: ഛേദങ്ങളുടെ ല.സാ.ഗു (LCM) കണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളെ തുല്യ ഛേദങ്ങളുള്ളവയാക്കി മാറ്റിയ ശേഷം ക്രിയ ചെയ്യുക. അല്ലെങ്കിൽ ക്രോസ് മൾട്ടിപ്ലിക്കേഷൻ രീതി ഉപയോഗിക്കാം.

ഉദാഹരണം: 1/2 + 1/3

ല.സാ.ഗു രീതി: 2, 3 എന്നിവയുടെ ല.സാ.ഗു 6 ആണ്.
(1×3)/(2×3) + (1×2)/(3×2) = 3/6 + 2/6 = 5/6
ക്രോസ് മൾട്ടിപ്ലിക്കേഷൻ: (1×3 + 1×2) / (2×3) = (3+2)/6 = 5/6

b) ഗുണനം (Multiplication):
അംശങ്ങൾ തമ്മിലും ഛേദങ്ങൾ തമ്മിലും ഗുണിക്കുക.

ഉദാഹരണം: 2/3 × 4/5 = (2×4) / (3×5) = 8/15

c) ഹരണം (Division):
രണ്ടാമത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ വ്യുൽക്രമം (Reciprocal) കൊണ്ട് ആദ്യത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയെ ഗുണിക്കുക. (വ്യുൽക്രമം എന്നാൽ അംശവും ഛേദവും തിരിച്ചിടുന്നത്).

ഉദാഹരണം: 2/3 ÷ 5/7

2/3 × 7/5 (5/7 ന്റെ വ്യുൽക്രമം 7/5)
= (2×7) / (3×5) = 14/15

2.4 ഭിന്നസംഖ്യകളെ താരതമ്യം ചെയ്യൽ (Comparing Fractions)

PSC പരീക്ഷകളിലെ സ്ഥിരം ചോദ്യം

വലുതും ചെറുതും കണ്ടെത്താൻ: ക്രോസ് മൾട്ടിപ്ലിക്കേഷൻ (കുറുകെ ഗുണിക്കുക) ആണ് എളുപ്പവഴി.

ഉദാഹരണം: 4/5, 7/9 ഇവയിൽ ഏതാണ് വലുത്?

4 × 9 = 36
5 × 7 = 35
36 > 35 ആയതുകൊണ്ട്, ആദ്യത്തെ ഭിന്നമായ 4/5 ആണ് വലുത്.

പ്രത്യേക വഴി: അംശവും ഛേദവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം തുല്യമാണെങ്കിൽ, വലിയ അംശവും ഛേദവുമുള്ള ഭിന്നസംഖ്യയായിരിക്കും വലുത്.

ഉദാഹരണം: 2/3, 4/5, 7/8. ഇവിടെയെല്ലാം വ്യത്യാസം 1 ആണ്. അതിനാൽ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ 7/8 ആണ്.

ഭാഗം 2: ദശാംശ സംഖ്യകൾ (Decimal Numbers)

ഭിന്നസംഖ്യകളെ മറ്റൊരു രീതിയിൽ എഴുതുന്നതാണ് ദശാംശ സംഖ്യകൾ. ഛേദം 10, 100, 1000 എന്നിങ്ങനെയുള്ള സംഖ്യകളായ ഭിന്നങ്ങളെയാണ് ദശാംശ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നത്.

2.5 രൂപമാറ്റം (Conversions)

ദശാംശത്തെ ഭിന്നമാക്കാൻ: ദശാംശസ്ഥാനം ഒഴിവാക്കി സംഖ്യയെ അംശമായി എഴുതുക. ദശാംശത്തിന് ശേഷം എത്ര അക്കങ്ങളുണ്ടോ, അത്രയും പൂജ്യങ്ങൾ 1-നോടൊപ്പം ചേർത്ത് ഛേദമായി എഴുതുക.

ഉദാഹരണം: 0.25 = 25/100 = 1/4 (ലഘൂകരിച്ച്)
ഉദാഹരണം: 1.5 = 15/10 = 3/2

ഭിന്നത്തെ ദശാംശമാക്കാൻ: അംശത്തെ ഛേദം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണം: 3/4 = 3 ÷ 4 = 0.75

2.6 ദശാംശ സംഖ്യകളിലെ ക്രിയകൾ

a) സങ്കലനവും വ്യവകലനവും: ദശാംശ ബിന്ദുക്കൾ (decimal points) ഒരേ നേർരേഖയിൽ വരുന്ന രീതിയിൽ സംഖ്യകളെ ക്രമീകരിച്ച് സാധാരണ പോലെ കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുക.

ഉദാഹരണം: 12.5 + 3.45 + 0.05

12.50

3.45

+ 0.05

-------

16.00

ഉത്തരം: 16

b) ഗുണനം: ദശാംശ ബിന്ദുക്കൾ ഒഴിവാക്കി സംഖ്യകളെ സാധാരണ പോലെ ഗുണിക്കുക. അതിനുശേഷം, ഗുണിച്ച സംഖ്യകളിൽ ആകെ എത്ര ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നുവോ, അത്രയും സ്ഥാനം വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് എണ്ണി ഉത്തരത്തിൽ ദശാംശ ബിന്ദു ചേർക്കുക.

ഉദാഹരണം: 1.2 × 0.03

12 × 3 = 36
1.2-ൽ ഒരു ദശാംശ സ്ഥാനം. 0.03-ൽ രണ്ട് ദശാംശ സ്ഥാനം. ആകെ 1+2=3 സ്ഥാനങ്ങൾ.
ഉത്തരത്തിൽ 3 ദശാംശ സ്ഥാനം വേണം: 0.036

c) ഹരണം:

ഹാരകത്തിനെ (divisor) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാക്കാൻ അതിന്റെ ദശാംശ സ്ഥാനം എത്ര വലത്തോട്ട് മാറ്റണമോ, അത്രയും സ്ഥാനം ഹാര്യത്തിലും (dividend) വലത്തോട്ട് മാറ്റുക. ശേഷം സാധാരണ പോലെ ഹരിക്കുക.
ഉദാഹരണം: 4.8 ÷ 0.2

ഹാരകമായ 0.2-നെ 2 ആക്കാൻ ദശാംശം ഒരു സ്ഥാനം വലത്തോട്ട് മാറ്റണം.
അതുപോലെ ഹാര്യമായ 4.8-നെ 48 ആക്കുക.
പുതിയ ചോദ്യം: 48 ÷ 2 = 24.
ഉത്തരം: 24

ഉദാഹരണം: 0.09 ÷ 3

ഇവിടെ ഹാരകം പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.
സാധാരണ പോലെ ഹരിക്കുക: 9 ÷ 3 = 3.
ഹാര്യത്തിൽ (0.09) രണ്ട് ദശാംശ സ്ഥാനം ഉള്ളതുകൊണ്ട് ഉത്തരത്തിലും വേണം.
ഉത്തരം: 0.03

പരിശീലന ചോദ്യങ്ങൾ (Practice Questions)

താഴെ പറയുന്നവയിൽ ഏറ്റവും വലിയ ഭിന്നസംഖ്യ ഏത്?
(A) 7/8
(B) 6/7
(C) 4/5
(D) 10/11
3 ¾ എന്ന മിശ്ര ഭിന്നത്തിന്റെ വിഷമ ഭിന്ന രൂപം ഏതാണ്?
(A) 12/4
(B) 15/4
(C) 10/4
(D) 9/4
2/5 + 1/3 ന്റെ വില എന്ത്?
(A) 3/8
(B) 11/15
(C) 3/15
(D) 2/8
5/6 ÷ 2/3 എത്രയാണ്?
(A) 10/18
(B) 5/4
(C) 4/5
(D) 10/12
0.075-ന് തുല്യമായ ഭിന്നസംഖ്യ ഏത്?
(A) 75/100
(B) 3/40
(C) 3/4
(D) 75/10
2.5 × 0.04 ന്റെ വില കാണുക.
(A) 1.00
(B) 0.01
(C) 10.0
(D) 0.1
25.5 + 2.5 - 1.05 എത്രയാണ്?
(A) 26.95
(B) 27
(C) 28.05
(D) 26.5
6.4 ÷ 0.08 ന്റെ വില എന്ത്?
(A) 8
(B) 80
(C) 0.8
(D) 0.08
താഴെ പറയുന്ന സംഖ്യകളെ ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ (ചെറുതിൽ നിന്ന് വലുതിലേക്ക്) എഴുതുക: 3/5, 2/3, 1/2
(A) 1/2, 3/5, 2/3
(B) 2/3, 3/5, 1/2
(C) 3/5, 1/2, 2/3
(D) 1/2, 2/3, 3/5
12 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു കയറിൽ നിന്ന് 2.25 മീറ്റർ നീളമുള്ള എത്ര കഷണങ്ങൾ മുറിച്ചെടുക്കാം?
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 5.33

ഉത്തരങ്ങളും വിശദീകരണങ്ങളും

ഉത്തരം: (D) 10/11.

വിശദീകരണം: എല്ലാ ഭിന്നങ്ങളിലും അംശവും ഛേദവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 1 ആണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഏറ്റവും വലിയ അംശവും ഛേദവുമുള്ള സംഖ്യയായിരിക്കും വലുത്.

ഉത്തരം: (B) 15/4.

വിശദീകരണം: (3 × 4 + 3) / 4 = (12 + 3) / 4 = 15/4.

ഉത്തരം: (B) 11/15.

വിശദീകരണം: (2×3 + 1×5) / (5×3) = (6 + 5) / 15 = 11/15.

ഉത്തരം: (B) 5/4.

വിശദീകരണം: 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12. ലഘൂകരിക്കുമ്പോൾ (3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ) 5/4 എന്ന് ലഭിക്കും.

ഉത്തരം: (B) 3/40.

വിശദീകരണം: 0.075 = 75/1000. 25 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 3/40 എന്ന് കിട്ടും.

ഉത്തരം: (D) 0.1.

വിശദീകരണം: 25 × 4 = 100. 2.5-ൽ ഒരു ദശാംശ സ്ഥാനവും 0.04-ൽ രണ്ട് സ്ഥാനങ്ങളുമുണ്ട്. ആകെ 3 സ്ഥാനങ്ങൾ. അതിനാൽ ഉത്തരം 0.100 അഥവാ 0.1.

ഉത്തരം: (A) 26.95.

വിശദീകരണം: 25.5 + 2.5 = 28.0. 28.00 - 1.05 = 26.95.

ഉത്തരം: (B) 80.

വിശദീകരണം: 6.4 ÷ 0.08. ഹാരകമായ 0.08-നെ പൂർണ്ണസംഖ്യയാക്കാൻ (8) ദശാംശം 2 സ്ഥാനം വലത്തോട്ട് മാറ്റണം. അപ്പോൾ 6.4 എന്നതിലെ ദശാംശവും 2 സ്ഥാനം വലത്തോട്ട് മാറ്റുക. 6.40 -> 640. ചോദ്യം: 640 ÷ 8 = 80.